Նարեկ Սարգսյան «Մխիթար Սեբաստացի» կրթահամալիր, Միջին դպրոց 6.10 դասարան 

1)

x=3-2y

3-2y+y-1=0

x=-1

y=2

Պատ՝.(-1,2)

2)

y=2-4x

3x+2-4x+3=0

x=5

y=-18

Պատ՝. (5,-18)

3)

x=1-3y

-1+3y+4y+8=0

7y=-7

y=-1

x=4

Պատ՝. (4,-1)

4)

y=x+2

3x+x+2-4=0

x=1/2

y=5/2

Պատ՝. (1/2, 5/2)

5)

x=3y-3

3y-3+y-1=0

y=1

x=0

Պատ՝. (0,1)

6)

x=2y-3

-2y+3+3y-2=0

y=-1

x=-5

Պատ՝.(-1,-5)

7)

y=3-2x

-x-3+2x+4=0

x=-1

y=5

Պատ՝.(-1,5)

2)Գտեք`

ա) հավասարակողմ եռանկյան բարձրությունը, եթե նրա կողմը 6 սմ է,

6:2=3

h²=6²-3²

h²=27

h=3✓3

բ) հավասարակողմ եռանկյան կողմը, եթե նրա բարձրությունը 4 սմ է:

4²+a²=4a²

16=3a²

a=4/✓3

2a=8/✓3

3)Քառակուսու անկյունագիծը 20 սմ է: Գտեք նրա կողմը։

a²+a²=20²

2a²=400

a²=200

a=✓200=10✓2

4)Գտեք հավասարասրուն եռանկյան սրունքը և մակերեսը, եթե` ա) հիմքը 12 սմ է, իսկ հիմքին տարված բարձրությունը՝ 8 սմ, բ) հիմքը 18 սմ է, իսկ նրա հանդիպակաց անկյունը՝ 120°:

ա) 12/2=6

8²+6²=64+36=100

a=10

S=12×8/2=48

բ) 180º-120^º=60º

60º/2=30º

2h²-h²=9²

h=3✓3

S=(18×3✓3)/2=27✓3

5)Ուղղանկյուն եռանկյան էջերն են a-ն և b-ն: Գտեք ներքնաձիգին տարված բարձրությունը, եթե`

ա) a = 5 b = 12

c²=12+5=144+25=169

c=13

h²+x²=25

(13-x)²+h²=144

h=60/13

բ) a = 12 b = 16 :

c²=16²+12²=256+144=400

c=20

h²+x²=144

h²+(20-x)²=16²

h=9,6

6)Գտեք շեղանկյան կողմը և մակերեսը, եթե նրա անկյունագծերը 10 սմ և 24 սմ են:

10/2=5

24/=12

a=12+5=144+25=169

a=13

10×24/2=120

Երկրաչափության ամենահայտնի թեորեմներից է Պյութագորասի թեորեմը, որի հայտնագործությունն ու ապացույցը վերագրվում է Պյութագորասին:

Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի քառակուսին հավասար է եռանկյան էջերի քառակուսիների գումարին՝ c² = a² + b²

Մաթեմատիկայի պատմության մեջ գոյություն ունեն պնդումներ այն մասին, որ այդ թեորեմը գիտեին դեռևս Պյութագորասից շատ առաջ: Մասնավորապես, եգիպտացիները գիտեին, որ 3, 4 և 5 կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է:

Տեղի ունի նաև Պյութագորասի թեորեմի հակադարձ թեորեմը, որը կիրառվում է որպես ուղղանկյուն եռանկյան հայտանիշ:

Եթե եռանկյան մի կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին, ապա այդ եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է:

Օրինակ

Արդյո՞ք 6 սմ, 7 սմ և 9 սմ կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է:

Ընտրում ենք մեծ կողմը և ստուգում Պյութագորասի թեորեմի տեղի ունենալը՝

9²=6²+7²;

81≠36+49

Հետևաբար, եռանկյունը ուղղանկյուն չէ:

Արդյո՞ք 5 սմ, 12 սմ և 13 սմ կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է:

Ընտրում ենք մեծ կողմը և ստուգում Պյութագորասի թեորեմի տեղի ունենալը՝

13² = 12² + 5²; 169 = 144 + 25

Հետևաբար, եռանկյունը ուղղանկյուն է:

Որպեսզի հաշվարկներ չկատարենք, օգտակար է հիշել Պյութագորասի առավել հաճախ պատահող թվերը՝

էջ, էջ, ներքնաձիգ

3; 4; 5

6; 8; 10

12; 16; 20

5; 12; 13

Առաջադրանքներ․

1)Ուղղանկյուն եռանկյան էջերը 6 սմ և 8 սմ են: Գտեք դրա ներքնաձիգը:

c² = a² + b²

c²=6²+8²=36+64=100

c=10

2)Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը 13 դմ է, էջերից մեկը՝ 5 դմ: Գտե՛ք մյուս էջը։

c² = a² + b²

a²=c²-b²

a²=169-25=144

a=12

3)Տղան տնից դեպի արևելք անցավ 800 մ, հետո շրջվեց դեպի հյուսիս և անցավ 600 մ: Տնից ի՞նչ հեռավորություն վրա էր տղան:

640000+360000=1000000

4)ABCD ուղղանկյան մեջ գտեք՝

ա)AD-ն, եթե AB=5, AC=13

AB=CD=5

AD²+DC²=AC²

AD²=AC²-CD²

AD²=169-25=144

AD=12

բ)BC-ն, եթե CD=1,5; AC=2,5

AB=CD=1,5

AB²+BC²=AC²

BC²=AC²-AB²

BC²=6,25-2,25=4

BC=2

5)Ինչքա՞ն պետք է հեռացնել 17 մ երկարությամբ սանդուղքի ստորին ծայրը շենքի պատից, որ դրա վերևի ծայրը լինի 15 մ բարձրության վրա:

17²-15²=289-225=64

L=8

6)Գտեք ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը՝ ըստ տրված a և b էջերի․

ա)a = 6; b = 8

c²=6²+8²

c²=36+64=100

c=10

բ)a = 1; b = √3

c²=1+3=4

c=2

7)Ուղղանկյուն եռանկյան էջերն են a-ն և b-ն, իսկ ներքնաձիգը՝ c-ն։ Գտեք b-ն, եթե՝

a = 12; c = 13

a²+b²=c²

b²=13²-12²

b²=25

b=5

a = 6; c = 2b

b=√(4b²-36)

8)ABCD ուղղանկյան մեջ գտեք CD-ն, եթե BD=17, BC=15:

CD²=BD²-BC²     

289-225=64

CD=8

Լևոն 1
Զաբել
Ֆիլիպ Անտիոքցի
Կոնստանտին Գանստաբոլը
Լյուզինյաններ
Նղրեցիներ
Լևոն V

• Ի՞նչ արտաքին քաղաքական մարտահրավերների առջև կանգնեց Կիլիկիան այդ ժամանակ։

1254 թվականին Հեթում արքան մեկնեց մեկնեց Մոնղոլիա դաշինք կնքելու։Ըստ պայմանագրի՝ կողմերը պետք է օգնեն միմյանց պատերազմների ժամանակ։Հայաստանում Հայոց եկեղեցին ազատվում էր բոլոր տեսակի հարկերից։

• Որո՞նք էին Կիլիկիայի դաշնակիցները և ո՞ր պետությունների հետ էր հակամարտում։

1270 թվականին Հայաստանի համար շարունակում էր սպառնալիք մնալ Եգիպտոսի մամլյուքները։Օգնության դիմաց, հայերը պետք  է ընտրեին Կաթոլիկությունը։Հետո երկրում առաջացան խմբավորումներ՝ կաթոլիկներ և հայոց եկեղեցու կողմնակիցներ։

• Ինչպիսի՞ տնտեսական և մշակութային զարգացումներ եղան Կիլիկիայում։

Կիլիկիա Հայաստանի վիճակը վատացավ, երբ գահն անցավ Հեթումյաններին։ Տարբեր արշավանքներ սպառնում էին երկրի գոյությանը։

• Ո՞ր արտաքին ուժերի հարձակումները հանգեցրին Կիլիկիայի թագավորության կործանմանը։

Մամլյուքների և Թյուրքմենական ցեղերի։

• Ո՞ր թվականին և ինչպե՞ս ավարտվեց Կիլիկիայի թագավորությունը։

Կիլիկիայի վերջին արքա Լևոն V, նրա ընտանիքը, Պողոս Սսեցի կաթողիկոսն ու այլ մեծամեծեր գերի տարվեցին Կահիրե։Դրանից հետո Կիլիկյան թագավորությունը դադարեց գոյություն ունենալ։1375 թվականի ապրիլի 16-ին։

• Ի՞նչ ճակատագիր ունեցավ Կիլիկիայի հայ բնակչությունը թագավորության անկումից հետո։

1. Համակարգի հավասարումներից որևէ մեկից (սովորաբար ավելի պարզից) արտահայտել փոփոխականներից մեկը մյուսի միջոցով, օրինակ՝ առաջին հավասարումից արտահայտել x-ը y-ի միջոցով:

2. Ստացված արտահայտությունը տեղադրել մյուս (երկրորդ) հավասարման մեջ, օրինակ՝ x-ի փոխարեն:

3. Լուծել մեկ անհայտով հավասարումը, օրինակ՝ y-ի նկատմամբ (գտնել y-ը ),

4. Երրորդ քայլում գտնված y-ի արժեքը տեղադրել y-ի փոխարեն՝ առաջին քայլում ստացված հավասարման մեջ և գտնել x-ը:

5. Գրել պատասխանը:

Օրինակ

Լուծել հավասարումների համակարգը՝

1) Առաջին հավասարումից ստանում ենք՝

x−2y=3

x=3+2y

2) Ստացված արտահայտությունը տեղադրում ենք երկրորդ հավասարման մեջ՝ x-ի փոխարեն՝

5⋅x+y=4

5⋅(3+2y)+y=4

3) Լուծենք ստացված հավասարումը և գտնենք y-ը՝

5⋅(3+2y)+y=4

15+10y+y=4

10y+y=4−15

11y=−11

y=−1

4) Տեղադրենք y-ի գտնված արժեքը առաջին քայլում ստացած հավասարման մեջ՝ y-ի փոխարեն և գտնենք x-ը՝

x=3+2⋅y

x=3+2⋅(−1)

x=3−2

x=1

5) Պատասխան՝ (1;−1)

Առաջադրանքներ․

1)

x=2y

2x2y-3y-7=0

y=7     x=2×7=14   (14,7)

Պատ՝. (14,7)

2)

x=-5y

3x(-5y)+7y-16=0

-15y+7y=16

-8y=16

y=-2     x=-5x(-2)=10   (10,-2)

Պատ՝(10,-2)

3)

y=3x

X-2x3X+10=0

-5x=-10

x=2         y=3×2=6

Պատ՝.(2,6)

4)

y=7x

3x-7x=-12

-4x=-12

x=3

7×3=21

Պատ՝. (3,21)

5)

y=7-5x

x-3(7-5x)-11=0

x-21+15x=11

16x=32

x=2

y=-3

Պատ՝. (2,-3)